Как рассчитать модуль шестерни по готовой детали: замеры, формулы, пример

Что связывает модуль с размерами шестерни

Модуль m, в миллиметрах, равен делительному диаметру, делённому на число зубьев. Остальные размеры шестерни без смещения вычисляются из этих двух чисел.

Формулы даны для исходного контура с углом профиля 20° и нулевым смещением. При смещении диаметры вершин и впадин сдвигаются.

Какие модули бывают

Инструмент и колёса стандартизованы, поэтому модуль берут из ряда. ГОСТ 9563-60 даёт два ряда, первый предпочтительнее.

В тракторной промышленности стандарт допускает 3,75; 4,25 и 6,5 мм, в редукторостроении 1,6; 3,15; 6,3 и 12,5 мм. Если расчёт дал 2,065, колесо, скорее всего, косозубое или дюймовое. Значения 1,6 или 3,15 возможны у редукторных колёс.

Как снять размеры с шестерни

Штангенциркуль с отсчётом 0,02 мм даёт da с погрешностью около 0,05 мм. Этого хватает: соседние модули ряда отличаются на 10–25 %, и перепутать 2 с 2,25 при внимательном замере нельзя.

Числовой пример: шестерня на 20 зубьев

На валу стоит шестерня с z = 20, штангенциркуль показал da = 44,02; 43,98 и 44,00 мм, среднее 44,00. Тогда m = 44 / (20 + 2) = 2,0 мм, модуль из первого ряда.

Делительный диаметр d = 2 · 20 = 40 мм, диаметр впадин df = 2 · (20 − 2,5) = 35 мм, высота зуба 4,5 мм. При модуле 1,75 da был бы 38,5 мм, а при 2,25 вышло бы 49,5 мм, так что перепутать нельзя.

Теперь тот же расчёт для нечётного числа зубьев. Для z = 21 и m = 2 диаметр вершин da = 46 мм, а штангенциркуль через зуб и впадину покажет 46 · cos(4,29°) = 45,87 мм. Если подставить 45,87 прямо в формулу m = da / (z + 2), получится 1,994. Модуль выглядит нестандартным только из-за недомера в 0,13 мм, а с поправкой выходит ровно 2,0.

Проверка по длине общей нормали

Диаметр вершин мало говорит о толщине зуба: венец мог быть сточен или обточен. Длина общей нормали W не зависит от вершин. Это расстояние между двумя разноимёнными профилями зубьев, которое меряют плоскими губками микрометра или зубомера через k зубьев.

W равна толщине зуба по основной окружности плюс (k − 1) шагов по основной окружности. Для колеса без смещения при угле 20°:

W = m · cos α · [π · (k − 0,5) + z · inv α], где inv 20° = 0,014904.

Число зубьев k подбирают так, чтобы губки легли на эвольвенту, а не на вершины или основание: k = z · α / 180° + 0,5, округляют до целого.

Значения для других модулей получают умножением на m. Для нашего примера с z = 20 W3 = 15,321 мм. Если микрометр показал 15,30–15,32, смещения нет. Если показал 16,00, у колеса положительное смещение.

Поправка на смещение исходного контура

Режущий инструмент можно сдвинуть от оси заготовки или к ней, и тогда зуб получается толще или тоньше. Коэффициент смещения x записывают на чертеже со знаком, без смещения ставят 0.

Длина общей нормали со смещением растёт на 2 · x · m · sin α. При m = 2, z = 20 и x = 0,5 прибавка 0,684 мм, и W3 = 16,005 мм. Поэтому по W удаётся определить x: x = (Wизм − W0) / (2 · m · sin α). В примере (16,005 − 15,321) / 1,368 = 0,5.

Смещение вводят, когда зубьев меньше 17, когда нужно подогнать межосевое расстояние под готовый корпус или усилить зуб. Если вы копируете колесо и не знаете, было ли смещение, воспроизводите его по W и da: цех получит зуб такой же толщины.

Косозубая шестерня: нормальный и торцевой модуль

У косозубого колеса зуб идёт по винтовой линии под углом β к оси. Размеры на торце (в плоскости, перпендикулярной оси) и по нормали к зубу различаются.

• нормальный модуль mn стандартизован (тот же ряд ГОСТ 9563); по нему подбирается фреза;
• торцевой модуль mt = mn / cos β, это число вы получите, если измерите делительный диаметр и разделите на z;
• делительный диаметр d = mt · z = mn · z / cos β;
• диаметр вершин da = d + 2 · mn.

Сначала считаем «как для прямозубой»: m = da / (z + 2). Если результат не попал в ряд, ищем mn и β. Пусть z = 25, da = 55,8 мм. Расчёт даёт 2,067 мм, это не стандарт. Берём ближайший нормальный модуль mn = 2 и проверяем: cos β = z / (da / mn − 2) = 25 / 25,9 = 0,965, откуда β ≈ 15,1°. Угол 15° выглядит круглым числом. Если подставить его в формулу, da должен быть 55,76 мм, а это в пределах точности замера.

Проверить угол можно и без расчёта: прокатите шестерню с чернильными вершинами по листу бумаги и измерьте угол следов зуба к краю листа. Погрешность около 1°, но для сверки этого хватает. Направление зуба определяют, поставив шестерню осью вверх: у правого зубья поднимаются слева направо, как нитка правой резьбы. Колёса пары делают с противоположными направлениями зуба.

Дюймовая шестерня и питчевая

Не любая шестерня с «некруглым» модулем косозубая. Часто это дюймовая деталь из импортного оборудования.

• Diametral pitch (DP), число зубьев на дюйм делительного диаметра. Связь с модулем m = 25,4 / DP.
• Circular pitch (CP), шаг по делительной окружности в дюймах. Модуль m = CP · 25,4 / π.

DP 10 и модуль 2,5 почти не отличаются, расхождение 1,6 %. Но шаги различаются на 0,126 мм, и уже на десяти зубьях набегает 1,3 мм, так что метрическое колесо с дюймовым в зацепление не ставят. Признак дюймовой шестерни: расчётный m лежит рядом с 25,4 / DP, а не с рядом ГОСТ. Угол профиля у дюймовых колёс бывает и 20°, и 14,5°, и его тоже надо замерить. Для 14,5° подрезания нет только от 32 зубьев. Перевод между дюймами и миллиметрами удобно сделать в калькуляторе единиц.

Сколько зубьев можно сделать

Минимальное число зубьев без подрезания ножки при нулевом смещении z min = 2 · ha* / sin² α. При стандартном инструменте (ha* = 1, α = 20°) это 17,1, то есть 17. Для 14,5° около 32. У косозубых колёс подрезание наступает позже: z min = 2 · cos β / sin² αt, то есть для β = 15° около 16 зубьев.

Колесо на 12 или 14 зубьев цех делает со смещением и указывает x в чертеже: без него зуб получится подрезанным, тонким у основания.

Расчёт шестерни с нуля

Когда готовой детали нет, исходные данные такие: передаточное число, межосевое расстояние (его задаёт корпус) и нагрузка. Пусть нужен редуктор 1 : 2,25 при a = 65 мм. Берём модуль 2 мм из первого ряда: z1 + z2 = 2a / m = 65. С передаточным числом 2,25 получаем z1 = 20, z2 = 45. Диаметры вершин 44 и 94 мм, делительные 40 и 90.

Если сумма зубьев выходит дробной, меняют модуль, вводят смещение или сдвигают межосевое. Модуль по нагрузке считают из прочности зуба на изгиб и контактных напряжений, это отдельный расчёт из курса «Детали машин».

Для моделирования в КОМПАС-3D есть приложение «Валы и механические передачи 3D»: оно строит цилиндрическую шестерню по модулю и числу зубьев и оформляет таблицу параметров венца. Для лазерной или плазменной вырезки ту же модель сохраняют в DXF, подробнее в статье о форматах файлов для цеха. Чистовые зубья всё равно нарезают фрезой, о методах рассказано в материале как изготавливают шестерни.

Типичные ошибки замеров

• Мерили da у изношенного зуба. Вершины скруглены, размер занижен. Берите da на самом целом участке венца или опирайтесь на W.
• Сосчитали зубья без отметки. Ошибка на один зуб превращает m = 2 в 1,91 или 2,10, и колесо не войдёт в пару.
• Посчитали косозубое колесо прямозубым. Модуль 2,07 выглядит как огрех измерения. Проверьте угол следа зуба.
• Не выяснили твёрдость. Закалённую шестерню нельзя копировать из конструкционной стали без термообработки, а твёрдость меряют переносным твердомером на торце.

Что передать в цех

Для заказа копии отправьте чертёж с таблицей параметров венца по ГОСТ 2.403-75. В первой части таблицы идут модуль, число зубьев, угол наклона и направление зуба, исходный контур, коэффициент смещения (без смещения 0), степень точности и вид сопряжения. Во второй части данные для контроля, например длина общей нормали W. На самом изображении указывают диаметр вершин, ширину венца, фаски и шероховатость боковых поверхностей зубьев.

Кроме зубьев, цеху нужны посадочное отверстие с допуском (см. допуски и посадки, квалитеты и калькулятор допусков), шпоночный паз, марка стали, твёрдость и вид термообработки. В сомнительном случае добавьте фото образца с линейкой и условия работы узла: скорость, нагрузку, смазку. Как оформить такой чертёж, показано в статье про чертёж по ЕСКД, общий порядок копирования описан в материале как изготовить деталь по образцу. Шкивы и звёздочки считают иначе, об этом отдельная статья.